题目内容

随机变量X的分布列如下表如示，若数列{pn}是以p1为首项，以q为公比的等比数列，则称随机变量X服从等比分布，记为Q（p1，q）．现随机变量X～Q（
1
15
，2）．
X12…n
Pp1p2…pn
（Ⅰ）求n的值并求随机变量X的数学期望EX；
（Ⅱ）甲乙两人举行乒乓球比赛，已知甲赢得每一局比赛的概率都等于P（X≤2），比赛采用三局两胜制（即在三局比赛中，只要有一方赢得两局比赛，就取得胜利，比赛也就随之结束了），求甲在比赛中赢的局数比输的局数多的概率．
考点：互斥事件的概率加法公式,相互独立事件的概率乘法公式
专题：概率与统计
分析：（Ⅰ）依题意得，数列{pn}是以
1
15
为首项，以2为公比的等比数列，由此解得n=4，由此能求出EX．
（Ⅱ）设“甲在第i（i=1，2，3）局取胜”为事件Ai，依题意，P(Ai)=P(X≤2)=
1
15
+
2
15
=
1
5
…（9分）设“甲在比赛中赢的局数比输的局数多”为事件A，则事件A等价于A1A2+
.
A1
A2A3+A1
.
A2
A3，由此能求出甲在比赛中赢的局数比输的局数多的概率．
解答： 解：（Ⅰ）依题意得，
数列{pn}是以
1
15
为首项，以2为公比的等比数列，…（1分）
所以Sn=p1+p2+…+pn=
1
15
(1-2n)
1-2
=1 …（3分）
解得n=4．…（5分）
EX=p1+2p2+3p3+4p4=1×
1
15
+2×
2
15
+3×
22
15
+4×
23
15

=
1
15
(1×20+2×21+3×22+4×23)…（6分）
=
49
15
．…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知随机变量X的分布列为：
X1234
P
1
15
2
15
4
15
8
15
设“甲在第i（i=1，2，3）局取胜”为事件Ai，
依题意，P(Ai)=P(X≤2)=
1
15
+
2
15
=
1
5
…（9分）
设“甲在比赛中赢的局数比输的局数多”为事件A，
则事件A等价于A1A2+
.
A1
A2A3+A1
.
A2
A3，…（11分）
则P(A)=P(A1A2)+P(
.
A1
A2A3)+P(A1
.
A2
A3)=
1
5
×
1
5
+
4
5
×
1
5
×
1
5
+
1
5
×
4
5
×
1
5
=
13
125
．…（13分）
点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．
练习册系列答案
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如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是（　　）
A、26
B、
57
2
C、27
D、
59
2
已知单位向量
a
，
b
的夹角为
π
3
，则|
a
-4
b
|等于（　　）
A、13
B、11
C、
13
D、
11
若复数Z=1+i，i 为虚数单位，则（1+Z）Z=（　　）
A、1+3 i
B、3+3 i
C、3-3 i
D、3
设A（3，2，1），B（1，0，5），C（0，0，1），则AB的中点M到点C的距离为（　　）
A、1B、2C、3D、4
已知sinθ，cosθ是关于x的方程“2x2+mx-
24
25
=0”的两根
（1）求实数m的值；       
（2）求sin（
π
2
-θ）+sinθ的值．
（1）计算：
1
2
lg25+lg2-lg
0.1
-log29×log32；
（2）化简：
cos(-α-π)•sin(2π+α)
cos(-α)•tanα
．
（Ⅰ）已知cosα是方程13x2-21x-10=0的一个根，求f（a）=
cos(2π-α)•secα•cos(α+
π
2
)
sin(α-
3
2
π)•cos(π+α)•tan(π-α)
的值．
（Ⅱ）化简：
4cos6°(sin26°-cos26°)
3
-cot6°
．
国家环保部于2012年发布了新修订的《环境空气质量标准》，其中规定：居民区的PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米，某城市环保部门随机抽取了一居民区去年20天PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：
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