Question

9．函数f（x）=|x²-a²|（α＞0），动点P（m，n）满足f（m）=f（n），且m＜n＜0，若动点P（m，n）的轨迹直线x+y+1=0没有公共点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{2}$）
• B． （$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
• C． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）
• D． （0，$\frac{1}{2}$]∪[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 由题意画出图形，结合动点P（m，n）满足f（m）=f（n），且m＜n＜0，得到P的轨迹m²+n²=2a²（$-\sqrt{2}a＜m＜-a$，-a＜n＜0）．再作出P的轨迹与直线x+y+1=0的图象，数形结合求出使P的轨迹与直线x+y+1=0有交点的a的范围，利用补集思想得答案．

解答 解：作出函数f（x）=|x²-a²|（a＞0）的图象如图：
动点P（m，n）满足f（m）=f（n），且m＜n＜0，
则-a＜n＜0，
由x²-a²=a²，解得x=$±\sqrt{2}a$，∴$-\sqrt{2}a＜m＜-a$．
由f（m）=f（n），得|m²-a²|=|n²-a²|，
即m²-a²=-n²+a²，∴m²+n²=2a²．
∴动点P（m，n）的轨迹为m²+n²=2a²（$-\sqrt{2}a＜m＜-a$，-a＜n＜0）．
作出P的轨迹与直线x+y+1=0的图象如图：
P的轨迹为圆m²+n²=2a²上不含端点A，B的劣弧，
要使P的轨迹与直线x+y+1=0有交点，则-2a＜-1＜-$\sqrt{2}$a，解得：$\frac{1}{2}＜a＜\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴使动点P（m，n）的轨迹与直线x+y+1=0没有公共点的实数a的取值范围是（0，$\frac{1}{2}$]∪[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）．
故选：D．

点评 本题考查轨迹方程，考查数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，关键是对题意的理解，有一定难度．