Question

14．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，右焦点为（2$\sqrt{2}$，0），过点P（-2，1）斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求弦AB的长．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，c=2$\sqrt{2}$，解得a=2$\sqrt{3}$，b=2，即可得出；
（2）由点斜式得直线方程为y=x+3，设直线与椭圆相交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与椭圆方程联立化为4x²+18x+15=0，由韦达定理，再利用弦长公式即可得出．

解答 解：（1）由题意可得：$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，c=2$\sqrt{2}$，解得a=2$\sqrt{3}$，b=2，
故椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（2）由点斜式得直线方程为y=x+3，设直线与椭圆相交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立直线与椭圆，化为4x²+18x+15=0，
由韦达定理可得x₁+x₂=-$\frac{9}{2}$，x₁x₂=$\frac{15}{4}$．
∴|AB|=$\sqrt{2}•\sqrt{（-\frac{9}{2}）^{2}-4•\frac{15}{4}}$=$\frac{\sqrt{42}}{2}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦的中点问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．