Question

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是正方形，且侧棱和底面垂直．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）当ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体时，求二面角C₁-BD-C的正切值及及异面直线BC₁与AC所成角的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面的基本性质及推论,直线与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出BD⊥CC₁，BD⊥AC，由此能证明BD⊥平面ACC₁A₁．
（II）设BD与AC相交于O，连接C₁O，由已知条件推导出∠C₁OC是二面角C₁-BD-C的平面角，由此能求出二面角C₁-BD-C的正切值．连接A₁B，∠A₁C₁B是异面直线BC₁与AC所成角，由此能求出异面直线BC₁与AC所成角的大小．

解答： （Ⅰ）证明：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，
∴CC₁⊥平面ABCD，∴BD⊥CC₁，
∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC
又∵AC，CC₁?平面ACC₁A₁，且AC∩CC₁=C，
∴BD⊥平面ACC₁A₁．
（II）解：设BD与AC相交于O，连接C₁O．
∵CC₁⊥平面ABCD，BD⊥AC，∴BD⊥C₁O，
∴∠C₁OC是二面角C₁-BD-C的平面角，
∴tan∠C₁OC=

CC1

OC

=

2

．
连接A₁B，∵A₁C₁∥AC，
∴∠A₁C₁B是异面直线BC₁与AC所成角．
∵三角形A₁C₁B是正三角形，∴∠A₁C₁B=60°．
∴二面角C₁-BD-C的正切值为

2

，
异面直线BC₁与AC所成角的大小为60°．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，考查异面直线所成角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．