Question

如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，Q是PA的中点．
（Ⅰ）证明：PC∥平面BDQ；
（Ⅱ）求三棱锥Q-BAD的体积．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（I）连接AC交BD于O，再连接OE，根据中位线定理可得到PC∥OE，再由线面平行的判定定理可证明PC∥OE，得证．
（II）先根据PA⊥平面ABCD确定QA为棱锥Q-BAD的高，进而根据棱锥的体积公式可求出四棱锥Q-BAD的体积．

解答： 证明：（I）连接AC交BD于O，连接OE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴O是AC的中点．
又∵E是PA的中点，
∴PC∥OE．
∵PC?平面BDE，OE?平面BDE
∴PC∥平面BDE．…（6分）
（II）∵侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，Q是PA的中点．
∴棱锥Q-BAD的高QA=1，
又∵底面ABCD是边长为2的正方形，
∴棱锥Q-BAD的底面面积S_△BAD=2，
∴VQ-BAD=

1

3

×S△BAD×QA=

1

3

×2×1=

2

3

．…（13分）

点评：本题主要考查棱锥的体积公式和线面平行的判定定理的应用．考查对定理的掌握情况和对基础知识的综合运用．