Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，且短轴长为2

3

，F₁，F₂是椭圆的左右两个焦点，若直线l过F₂，且倾斜角为45°，交椭圆于A，B两点．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）求△ABF₁的周长与面积．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设出椭圆C的标准方程，由短轴长与离心率，结合a²=b²+c²，求出b、a，即得标准方程；
（2）求出直线AB的方程，与椭圆的方程组成方程组，利用韦达定理得y1+y2=-

6

7

，y1•y2=-

9

7

，计算出|y₁-y₂|，求出面积．

解答： 解：（1）∵离心率为

1

2

，且短轴长为2

3

，
∴

c a = 1 2 b= 3 a2=b2+c2

，
解得：c2=

3

2

，a2=6，b2=3，
∴椭圆C的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）设△ABF₁的周长为l，
则l=|AB|+||BF₁|+|AF₁|=|AF₂|+|BF₂|+|BF₁|+|AF₁|=4a=8，F₂（1，0），
又∵倾斜角为45°，
∴l的方程为：x-y-1=0，
∴

x-y-1=0 x2 4 + y2 3 =1

，
消x得7y²+6y-9=0，
∴y1+y2=-

6

7

，y1•y2=-

9

7

，
∴|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1•y2

=

12 2

7

，
∴设△ABF₁的面积为S，
∴S=

1

2

×2c×|y1-y2|=

12 2

7

．
∴△ABF₁的周长与面积分别为8；

12 2

7

．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的应用问题，解题时应熟练地掌握圆锥曲线的几何性质，并能灵活地应用，是基础题．