Question

已知点是中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的一个顶点（0，

5

），离心率为

6

6

，椭圆的左右焦点分别为F₁和F₂．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）点M在椭圆上，求△MF₁F₂面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，由已知得

b= 5 c a = 6 6 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）令M（x₁，y₁），则S△MF1F2 =

1

2

|F1F2|•|y1|=

1

2

•2•|y1|，由此能求出当y₁=±

5

时，S△MF1F2的最大值为

5

．

解答： 解：（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，
∵椭圆的一个顶点（0，

5

），离心率为

6

6

，
∴

b= 5 c a = 6 6 a2=b2+c2

，
解得a=

6

，c=1，
∴椭圆方程为

x2

6

+

y2

5

=1．
（Ⅱ）令M（x₁，y₁），则S△MF1F2 =

1

2

|F1F2|•|y1|=

1

2

•2•|y1|，
∵-

5

≤y1≤

5

，
∴|y₁|的最大值为

5

，
∴当y₁=±

5

时，S△MF1F2的最大值为

5

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．