Question

已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．
（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）求出导数，令x=1即可得到斜率；
（2）求出导数，讨论①当a≥0时，②当a＜0时，分别求出单调区间，注意函数的定义域．

解答： 解：（1）a=2时，f（x）=2x+lnx的导数f′（x）=2+

1

x

，
f′（1）=2+1=3，
故曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率为3；
（2）f′（x）=a+

1

x

=

ax+1

x

（x＞0），
①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f′（x）＞0，
所以，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．
②当a＜0时，由f′（x）=0，得x=-

1

a

．
在区间（0，-

1

a

）上，f′（x）＞0，在区间（-

1

a

，+∞）上，f′（x）＜0，
所以，函数f（x）的单调递增区间为（0，-

1

a

），单调递减区间为（-

1

a

，+∞）．

点评：本题考查导数的运用：求切线的斜率和求单调区间，考查分类讨论的思想方法，注意函数的定义域，属于中档题．