Question

已知向量

m

=（sin（2x+

π

6

），sinx），

n

=（1，sinx），f（x）=

m

•

n

-

1

2

．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a=2

3

，f(

A

2

)=

1

2

，若

3

sin（A+C）=2cosC，求b的大小．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算,正弦定理

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（Ⅰ）利用向量的数量积公式，结合辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的单调性，结合函数的定义域，即可得到结论；
（Ⅱ）由f(

A

2

)=

1

2

，可得A，利用两角和与差的三角函数以及正弦定理结合

3

sin（A+C）=2cosC，即可求边b的长．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=sin(2x+

π

6

)+sin2x-

1

2

=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

1-cos2x

2

-

1

2

=

3

2

sin2x…（4分）
所以f（x）递减区间是[kπ+

π

4

，kπ+

3π

4

]，k∈Z．…（5分）
（Ⅱ）由f(

A

2

)=

1

2

和f(x)=

3

2

sin2x得：sinA=

3

3

…（6分）
若cosA=

6

3

，而sin(A+C)=

3

3

cosC+

6

3

sinC
又

3

sin(A+C)=2cosC，所以cosC=

2

sinC
∵0＜C＜π，所以cosC=

6

3

若cosA=-

6

3

，同理可得：cosC=-

6

3

，显然不符合题意，舍去．…（9分）
∴sinB=sin(A+C)=

2

3

cosC=

2 2

3

…（10分）
由正弦定理得：b=

asinB

sinA

=4

2

…（12分）

点评：本题考查向量知识的运用，考查三角函数的化简与三角函数的性质，考查正弦定理以及两角和与差的三角函数的运用，正确化简函数是关键．