Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB，AB=AA₁，∠BAA₁=60°．
（Ⅰ）证明：AB⊥A₁C；
（Ⅱ）若AB=CB=2，A₁C=

6

，求二面角B-AC=A₁的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离,空间向量及应用

分析：（Ⅰ）取AB中点O，连CO，OA₁，A₁B，由题设条件推导出△A₁AB为正三角形，从而得到A₁O⊥AB，由CA=CB，得到CO⊥AB，由此能够证明AB⊥A₁C．
（Ⅱ）以OA为x轴，以OA₁为y轴，以OC为z轴建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出二面角B-AC=A₁的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：取AB中点O，连CO，OA₁，A₁B，
∵AB=AA₁，∠BAA₁=60°，
∴△A₁AB为正三角形，
∴A₁O⊥AB，
∵CA=CB，∴CO⊥AB，
∵CO∩A₁O=O，
∴AB⊥平面COA₁，
∵A₁C?平面COA₁，
∴AB⊥A₁C．
（Ⅱ）解：∵AB=CB=2，AB=AA₁，CA=CB，∠BAA₁=60°，
∴CO=A₁O=

22-1

=

3

，
∵A₁C=

6

，
∴CO2+A1O2=A1C2，
∴OC⊥A₁O，
∵OC∩AB=O，∴A₁O⊥平面ABC，
建立如图空间直角坐标系O-xyz，
O（0，0，0），A（1，0，0），A1(0，

3

，0)，C（0，0，

3

），
设平面AA₁C的法向量为

n

=(x1，y1，z1)，
则

n

•

AA1

=0，

n

•

AC

=0，
∴

-x1+ 3 y1=0 -x1+ 3 z1=0

，
∴

n

=（

3

，1，1），
平面向量ACB的法向量

m

=（0，1，0），
cos＜

m

，

n

＞=

1

5

=

5

5

．
∴二面角B-AC=A₁的余弦值为

5

5

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．