Question

19．在正方体A₁B₁C₁D₁-ABCD中，给出以下命题：
①平面A₁BD∥平面D₁B₁C；
②存在无数条直线，它与该正方体的六个表面所在平面所成的角都相等；
③不存在平面，与该正方体的六个表面所在平面所成的锐二面角的大小都相等；
④AD₁与平面A₁BD所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
其中真命题的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①，依据面面平行的判定可判定；
②过点A与三个平面AB′，AC，AD′所成角都相等的直线分有4条，所有与之平行的直线都满足条件，存在无数条直线，
③，面A₁C₁B与过定点B₁的侧面所成角相等，与六个侧面所成角一定等
④如图连结AD₁交A₁D于E，连结AC₁交面A₁BD于O，
易知AC₁⊥面A₁BD，连结EO，故∠AEO就是AD₁与平面A₁BD所成角，sin∠AEO=$\frac{AO}{AE}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，．

解答 解：对于①，如图所示∵DB∥D₁B₁，A₁D∥B₁C，由面面平行的判定可判定平面A₁BD∥平面D₁B₁C，故正确；
对于②，过点A与三个平面AB′，AC，AD′所成角都相等的直线分两类：
第一类：通过点A位于三条棱之间的直线有一条体对角线AC₁，第二类：在图形外部和每面所成角和另两个面所成角相等，有3条，合计4条，所有与之平行的直线都满足条件，存在无数条直线，故正确．
对于③，如图面A₁C₁B与过定点B₁的侧面所成角相等，与六个侧面所成角一定等，故错；
对于④，如图连结AD₁交A₁D于E，连结AC₁交面A₁BD于O，
易知AC₁⊥面A₁BD，连结EO，故∠AEO就是AD₁与平面A₁BD所成角，sin∠AEO=$\frac{AO}{AE}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，故正确．
故选：C．

点评 本题考查了空间线线、线面的位置关系，即线面角、面面角的求解，属于中档题．