Question

10．过双曲线${x^2}-\frac{y^2}{4}=1$的右支上的一点P作一直线l与两渐近线交于A、B两点，其中P是AB的中点；
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）当P坐标为（x₀，2）时，求直线l的方程；
（3）求证：|OA|•|OB|是一个定值．

Answer 1

分析 （1）求出双曲线的a，b，由双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，即可得到所求；
（2）令y=2代入双曲线的方程可得P的坐标，再由中点坐标公式，设A（m，2m），B（n，-2n），可得A，B的坐标，运用点斜式方程，即可得到所求直线方程；
（3）设P（x₀，y₀），A（m，2m），B（n，-2n），代入双曲线的方程，运用中点坐标公式，求得m，n，运用两点的距离公式，即可得到定值．

解答 解：（1）双曲线${x^2}-\frac{y^2}{4}=1$的a=1，b=2，
可得双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
即为y=±2x；
（2）令y=2可得x₀²=1+$\frac{4}{4}$=2，
解得x₀=$\sqrt{2}$，（负的舍去），
设A（m，2m），B（n，-2n），
由P为AB的中点，可得m+n=2$\sqrt{2}$，2m-2n=4，
解得m=$\sqrt{2}$+1，n=$\sqrt{2}$-1，
即有A（$\sqrt{2}$+1，2$\sqrt{2}$+2），
可得PA的斜率为k=$\frac{2\sqrt{2}+2-2}{\sqrt{2}+1-\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
则直线l的方程为y-2=2$\sqrt{2}$（x-$\sqrt{2}$），
即为y=2$\sqrt{2}$x-2；
（3）证明：设P（x₀，y₀），即有x₀²-$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$=1，
设A（m，2m），B（n，-2n），
由P为AB的中点，可得m+n=2x₀，2m-2n=2y₀，
解得m=x₀+$\frac{1}{2}$y₀，n=x₀-$\frac{1}{2}$y₀，
则|OA|•|OB|=$\sqrt{1+4}$|m|•$\sqrt{1+4}$|n|=5|mn|=5|（x₀+$\frac{1}{2}$y₀）（x₀-$\frac{1}{2}$y₀）|
=5|x₀²-$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$|=5为定值．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，同时考查直线方程的运用，以及中点坐标公式的运用，属于中档题．