Question

9．已知e为自然对数的底数，若方程|xlnx-ex+e|=mx在区间[$\frac{1}{e}$，e²]上有三个不同实数根，则实数m的取值范围是[e-$\frac{1}{e}$-2，e-2）．

Answer 1

分析 令f（x）=xlnx-ex+e，判断f（x）的单调性得出y=|f（x）|在[$\frac{1}{e}$，e²]上的图象，根据图象有3个交点求出m的临界值即可得出m的范围．

解答 解：令f（x）=xlnx-ex+e，则f′（x）=lnx-e+1，
∴当x∈（$\frac{1}{e}$，e^e-1）时，f′（x）＜0，当x∈（e^e-1，e²）时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（$\frac{1}{e}$，e^e-1）上单调递减，在（e^e-1，e²）上单调递增，
又f（1）=0，f（e²）=2e²-e³+e=e（2e+1-e²）＜0，
∴|f（x）|=$\left\{\begin{array}{l}{xlnx-ex+e，\frac{1}{e}≤x≤1}\\{-xlnx+ex-e，1＜x≤{e}^{2}}\end{array}\right.$，
∴y=|f（x）|的函数图象如图所示：

∵方程|xlnx-ex+e|=mx在区间[$\frac{1}{e}$，e²]上有三个不同实数根，
∴y=mx与y=|f（x）|的图象有3个交点，
设y=m₁x经过点（e²，|f（e²）|），则m₁=$\frac{e（{e}^{2}-2e-1）}{{e}^{2}}$=$e-\frac{1}{e}-2$，
设y=m₂x与y=|f（x）|相切，切点为x₀，y₀，显然1＜x₀＜e²，
则$\left\{\begin{array}{l}{{m}_{2}=-ln{x}_{0}-1+e}\\{{y}_{0}={m}_{2}{x}_{0}}\\{{y}_{0}=-{x}_{0}ln{x}_{0}+e{x}_{0}-e}\end{array}\right.$，解得x₀=e，y₀=e²-2e，m₂=e-2，
∴e-$\frac{1}{e}-2$≤m＜e-2．
故答案为[e-$\frac{1}{e}-2$，e-2）．

点评 本题考查了函数单调性判断，函数零点个数与函数图象的关系，属于中档题．