Question

5．如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=1．
（1）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；
（2）若平面PAD与PBC所成的锐二面角的大小为$\frac{π}{3}$，求线段PD的长度．

Answer 1

分析 （1）设PC交DE于点N，连结MN，MN∥AC，由此能证明AC∥平面MDE．
（2）设PD=a，（a＞0），推导出PD⊥平面ABCD，以D为原点，DA，DC，DP所在直线分为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段PD的长度．

解答 证明：（1）设PC交DE于点N，连结MN，
在△PAC中，∵M，N分别是PA，PC的中点，
∴MN∥AC，
又AC?平面MDE，MN?平面MDE，
∴AC∥平面MDE．
解：（2）设PD=a，（a＞0），
∵四边形PDCE是矩形，四边形ABCD是梯形，
平面PDCE⊥平面ABCD，
∴PD⊥平面ABCD，
又∵∠BAD=∠ADC=90°，
以D为原点，DA，DC，DP所在直线分为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则P（0，0，a），B（1，1，0），C（0，2，0），
$\overrightarrow{PC}=（0，2，-a），\overrightarrow{CB}=（1，-1，0）$，
平面PAD的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
设平面PBC的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=2y-az=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CB}=x-y=0}\end{array}\right.$，取x=a，得$\overrightarrow{m}$=（a，a，2），
∵平面PAD与PBC所成的锐二面角的大小为$\frac{π}{3}$，
∴cos$\frac{π}{3}$=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{a}{\sqrt{2{a}^{2}+4}}$=$\frac{1}{2}$，
解得a=$\sqrt{2}$．
∴线段PD的长度为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．