Question

20．已知P是抛物线y²=4x上一动点，则点P到直线l：2x-y+3=0和直线x=-2的距离之和的最小值是（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{5}+1$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$-1

Answer 1

分析 由题意可知：点P到直线2x-y+3=0的距离为丨PA丨，点P到x=-2的距离为丨PD丨=丨PB丨+1，则点P到直线l：2x-y+3=0和x=-2的距离之和为丨PF丨+丨PA丨+1，当A，P和F共线时，点P到直线l：2x-y+3=0和直线x=-2的距离之和的最小，利用点到直线的距离公式，即可求得答案．

解答 解：由抛物线的方程，焦点F（1，0），
准线方程=-1，根据题意作图如右图，
点P到直线2x-y+3=0的距离为丨PA丨，
点P到x=-2的距离为丨PD丨=丨PB丨+1；
而由抛物线的定义知：丨PB丨=丨PF丨，
故点P到直线l：2x-y+3=0和x=-2的距离之和为
丨PF丨+丨PA丨+1，
而点F（1，0），到直线l：2x-y+3=0的距离为$\frac{丨2-0+3丨}{\sqrt{{2}^{2}+1}}$=$\sqrt{5}$，
P到直线l：2x-y+3=0和直线x=-2的距离之和的最小值$\sqrt{5}$+1，
故选B．

点评 本题考查抛物线的定义的应用及简单几何性质，考查点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．