Question

15．如图，扇形的半径为1，圆心角∠BAC=150°，点P在弧BC上运动，$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$，则$\sqrt{3}m-n$的最大值是（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 建立坐标系，求出向量坐标，设P（cosθ，sinθ），根据向量坐标的运算得到m=cosθ+$\sqrt{3}$sinθ，n=2sinθ，则$\sqrt{3}m-n$=2sin（θ+60°），根据三角函数的性质即可求出最值．

解答 解：以AB为x轴，以A为原点，建立坐标系，
如图：P（cosθ，sinθ），0°≤θ≤150°，
则A（0，0），B（1，0），C（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∵$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$，
∴（cosθ，sinθ）=m（1，0）+n（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）
=（m-$\frac{\sqrt{3}}{2}$n，$\frac{n}{2}$），
∴cosθ=m-$\frac{\sqrt{3}}{2}$n，sinθ=$\frac{n}{2}$，
∴m=cosθ+$\sqrt{3}$sinθ，n=2sinθ，
∴$\sqrt{3}m-n$=$\sqrt{3}$cosθ+3sinθ-2sinθ=$\sqrt{3}$cosθ+sinθ
=2sin（θ+60°），
∵0°≤θ≤150°，
∴60°≤θ+60°≤210°，
∴当θ=30°时，$\sqrt{3}m-n$的最大值为2，
故选：C．

点评 本题考查了向量的坐标运算和三角函数的性质，属于中档题．