Question

4．已知奇函数f（x）满足：（1）定义域为R；（2）f（x）＞-2；（3）在（0，+∞）上单调递减；（4）对于任意的d∈（-2，0），总存在x₀，使f（x₀）＜d．请写出一个这样的函数解析式：f（x）=-2（$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$）．

Answer 1

分析 分析函数f（x）=-2（$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$）的定义域，单调性，值域，可得结论．

解答 解：函数f（x）=-2（$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$）的定义域为R；
函数f（x）在R上为减函数，故在（0，+∞）上单调递减；
当x→+∞时，f（x）→-2，故f（x）＞-2；
函数的值域为：（-2，2），故对于任意的d∈（-2，0），总存在x₀，使f（x₀）＜d．
故满足条件的函数可以是f（x）=-2（$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$），
故答案为：f（x）=-2（$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$），答案不唯一

点评 本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的单调性，函数的奇偶性，难度中档．