Question

5．对于函数f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+sin²x（x∈R）有以下几种说法：
（1）（$\frac{π}{12}$，0）是函数f（x）的图象的一个对称中心；
（2）函数f（x）的最小正周期是2π；
（3）函数f（x）在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上单调递增．
（4）y=f（x）的一条对称轴$x=\frac{π}{3}$：其中说法正确的个数是（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 函数f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+sin²x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1-cos2x}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，分析函数的对称性，周期性和单调性，可得结论．

解答 解：函数f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+sin²x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1-cos2x}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
当x=$\frac{π}{12}$时，sin（2x-$\frac{π}{6}$）=0，故（$\frac{π}{12}$，$\frac{1}{2}$）是函数f（x）的图象的一个对称中心，故（1）错误；
函数f（x）的最小正周期是π，故（2）错误；
由2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{π}{2}$+2kπ]，k∈Z得：x∈[-$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{π}{3}$+kπ]，k∈Z
当k=0时，[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]是函数f（x）的一个单调递增区间，故（3）正确．
当$x=\frac{π}{3}$时，sin（2x-$\frac{π}{6}$）=1．故y=f（x）的一条对称轴$x=\frac{π}{3}$，故（4）正确．
故选：C

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了和差角公式，降次升角公式，正弦型函数的图象和性质，难度中档．