Question

11．如图，已知棱长为4的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N，E，F分别是棱A₁D₁，A₁B₁，D₁C₁，B₁C₁的中点，求证：平面AMN∥平面EFBD．

Answer 1

分析 证法一：设正方体的棱长为4，如图建立空间直角坐标系，利用向量法，可证得：MN∥平面EFBD，AK∥平面EFBD，进而得到平面AMN∥平面EFBD．
证法二：求出平面AMN的法向量和平面EFBD的法向量，根据两个法向量平行，可得平面AMN∥平面EFBD．

解答 （本小题满分13分）
证法一：设正方体的棱长为4，如图建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A（4，0，0），M（2，0，4），
N（4，2，4），B（4，4，0），E（0，2，4），F（2，4，4）．
取MN的中点K，EF的中点G，BD的中点O，则O（2，2，0），K（3，1，4），G（1，3，4）．
$\overrightarrow{MN}$=（2，2，0），$\overrightarrow{EF}$=（2，2，0），$\overrightarrow{AK}$=（-1，1，4），$\overrightarrow{OG}$=（-1，1，4），
∴$\overrightarrow{MN}$∥$\overrightarrow{EF}$，$\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{OG}$，
∴MN∥EF，AK∥OG，
∴MN∥平面EFBD，AK∥平面EFBD，
∴平面AMN∥平面EFBD．
证法二：设平面AMN的法向量是$\overrightarrow{a}$=（a₁，a₂，a₃），平面EFBD的法向量是$\overrightarrow{b}$=（b₁，b₂，b₃）．
由$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{AM}=0，\overrightarrow{a}•\overrightarrow{AN}=0$，
得$\left\{{\begin{array}{l}-2{a_1}+4{a_3}=0\\ 2{a_2}+4{a_3}=0\end{array}}\right.$取a₃=1，得$\overrightarrow{a}$=（2，-2，1）．
由${\vec b}•\overrightarrow{DE}=0，{\vec b}•\overrightarrow{BF}=0$，
得$\left\{{\begin{array}{l}2{b_2}+4{b_3}=0\\-2{b_1}+4{b_3}=0\end{array}}\right.$取b₃=1，得$\overrightarrow{b}$=（2，-2，1）．
∵$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，
∴平面AMN∥平面EFBD．

点评 本题考查的知识点是平面与平面平行的判断，利用向量证明面面平行，难度中档．