Question

如图，抛物线的方程为y²=2px（p＞0）．
（1）当p=4时，求该抛物线上纵坐标为2的点到其焦点F的距离；
（2）已知该抛物线上一点P的纵坐标为t（t＞0），过P作两条直线分别交抛物线与A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求证：

y1+y2

t

为定值；并用常数p、t表示直线AB的斜率．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由抛物线定义知：该抛物线上纵坐标为2的点到焦点F的距离即为其到准线x=-2的距离，由此能求出结果．
（2）设P(

t2

2p

，t)（t＞0），由已知条件得到k_PA+k_PB=0，从而能够推导出

1

y1+t

+

1

y2+t

=0，由此能用常数p、t表示直线AB的斜率．

解答： 解：（1）∵抛物线的方程为y²=2px（p＞0），
∴当p=4时，y²=8x，代入y=2，解得x=

1

2

．
则由抛物线定义知：该点到焦点F的距离即为其到准线x=-2的距离，
∴该抛物线上纵坐标为2的点到其焦点F的距离d=

1

2

-(-2)=

5

2

．
（2）设P(

t2

2p

，t)（t＞0），
由题意k_PA+k_PB=0，即

y1-t

x1- t2 2p

+

y2-t

x2- t2 2p

=0，
∵A、B在抛物线上，
∴上式可化为

y1-t

y12 2p - t2 2p

+

y2-t

y22 2p - t2 2p

=0，
∴

1

y1+t

+

1

y2+t

=0，
从而有y₁+y₂+2t=0，即

y1+y2

t

=-2为定值．
直线AB的斜率k_AB=

y1-y2

x1-x 2

=

y1-y2

y12 2p - y22 2p

=

2p

y1+y2

-

p

t

．

点评：本题考查抛物线上的点到其焦点的距离的求法，考查直线的斜率的求法，解题时要熟练掌握抛物线的简单性质，要注意等价转化思想的合理运用．