Question

给定曲线Γ：（5-m）x²+（m-2）y²=8，（m∈R）．
（1）若曲线Γ是焦点为F₁（-2，0），F₂（2，0）的双曲线，求实数m的值；
（2）当m=4时，记M是椭圆Γ上的动点，过椭圆长轴的端点A作AQ∥QM（O为坐标原点），交椭圆于Q，交y轴于P，求

AQ•AP

OM2

的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）曲线Γ化为标准方程得

x2

8 5-m

-

y2

8 2-m

=1，由此利用双曲线的简单性质能求出m的值．
（2）当m=4时，曲线Γ：x²+2y²=8，此时A（-2

2

，0），由

y=kx x2+2y2=8

，得：x2=

8

1+2k2

，由此利用韦达定理结合题设条件能求出

AQ•AP

OM2

的值．

解答： 解：（1）∵曲线Γ：（5-m）x²+（m-2）y²=8，（m∈R），
化简得

x2

8 5-m

-

y2

8 2-m

=1，…（2分）
由题意得a2=

8

5-m

，b2=

8

2-m

，且m＜2，…（3分）
又∵c=2，∴

8

5-m

+

8

2-m

=4，解得m=-1，或m=4（舍）…（5分）
∴m=-1．…（6分）
（2）当m=4时，曲线Γ：x²+2y²=8，此时A（-2

2

，0），…（7分）
设直线OM方程为y=kx，
由

y=kx x2+2y2=8

，得：x2=

8

1+2k2

，
即xM2=

8

1+2k2

，…（8分）
∴OM²=xM2+yM2=x_M²+（kx_M）²=

8(1+k2)

1+2k2

，…（10分）
∵AQ∥OM，∴AQ方程为：y=k（x+2

2

），
于是P（o，2

2

k），AP=

(-2 2 )2+(2 2 k)2

=2

2

•

1+k2

，…（11分）
由

y=k(x+2 2 ) x2+2y2=8

，得：（1+2k²）x²+8

2

k²x+16k²-8=0，
从而AQ=

1+k2

•

(8 2 k2)2-4(2+2k2)(16k2-8)

1+2k2

=

1+k2

•

4 2

1+2k2

．…（13分）
∴

AQ•AP

OM2

=

1+k2 • 4 2 1+2k2 •2 2 • 1+k2

8(1+k2) 1+2k2

=2．…（14分）

点评：本题考查双曲线中参数的求法，考查椭圆中线段比值的求法，综合性强，难度大，解题时要注意韦达定理的合理运用．