Question

设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=-x²-4x+2，若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：利用奇函数的性质可得：当x＞0时，f（x）=-f（-x）=x²-4x-2．由于f（x）≥a+1对一切x≥0成立，则只需x≥0时，f（x）_min≥a+1即可．
利用二次函数的性质即可得到x＞0时的函数最小值，即可得到结论．

解答： 解：设x＞0，则-x＜0，
∴f（-x）=-（-x）²-4（-x）+2=-x²+4x+2，
由于y=f（x）是定义在R上的奇函数，
当x=0时，则f（x）=0；
当x＞0时，则f（x）=-f（-x）=x²-4x-2．
由于f（x）≥a+1对一切x≥0恒成立，
则只需x≥0时，f（x）_min≥a+1即可．
①当x＞0时，由于f（x）=x²-4x-2的图象开口向上，对称轴为x=2，
则f（x）_min=（2）²-4×2-2=-6，
故-6≥a+1，解得a≤-7．
（2）当x=0时，f（0）=0≥a+1恒成立，解得a≤-1．
综上可知：（-∞，-7]．

点评：熟练掌握奇函数的性质和二次函数的图象与性质是解题的关键．