Question

12．已知函数f（x），对任意的实数x满足f（x-2）=f（x+2），且当x∈[-1，3）时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{1-{x}^{2}}（-1≤x≤1）}\\{-|x-2|（1＜x＜3）}\end{array}\right.$，若直线y=kx与函数f（x）的图象有5个公共点，则实数k的取值范围是（-$\frac{\sqrt{15}}{15}$，-$\frac{1}{5}$）∪（$\frac{1}{5}$，$\frac{\sqrt{15}}{15}$）．

Answer 1

分析 可判断函数f（x）的周期为4，从而作出函数f（x）与直线y=kx的图象，利用数形结合求解．

解答 解：∵对任意的实数x满足f（x-2）=f（x+2），
∴函数f（x）的周期为4，
作函数f（x）与直线y=kx的图象如下，
，
结合图象可知，
k_l=-$\frac{1}{\sqrt{{4}^{2}-1}}$=-$\frac{\sqrt{15}}{15}$，k_m=-$\frac{1}{5}$，k_n=$\frac{1}{\sqrt{{4}^{2}-1}}$=$\frac{\sqrt{15}}{15}$，k_q=$\frac{1}{5}$，
故实数k的取值范围是
（-$\frac{\sqrt{15}}{15}$，-$\frac{1}{5}$）∪（$\frac{1}{5}$，$\frac{\sqrt{15}}{15}$）；
故答案为：（-$\frac{\sqrt{15}}{15}$，-$\frac{1}{5}$）∪（$\frac{1}{5}$，$\frac{\sqrt{15}}{15}$）．

点评 本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了学生的作图能力及数形结合的思想应用．