Question

已知公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S₃=a₄+6，且a₁，a₄，a₁₃成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=2^a_n+1，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件，利用等差数列的前n项和公式和通项公式及等比数列的性质列出方程组，求出等差数列的首项和公差，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由题意推导出bn=22n+1+1，由此利用分组求和法能求出数列{b_n}的前n项和．

解答： 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d≠0．
∵S₃=a₄+6，
∴3a₁+

3×2d

2

=a₁+3d+6．①
∵a₁，a₄，a₁₃成等比数列，
∴a1(a1+12d)=(a1+3d)2．②…（2分）
由①，②可得：a₁=3，d=2．…（4分）
∴a_n=2n+1．…（6分）
（Ⅱ）由题意bn=22n+1+1，
设数列{b_n}的前n项和为T_n，Cn=22n+1，

cn+1

cn

=

22(n+1)+1

22n+1

=4，（n∈N^*），
∴数列{C_n}为以8为首项，以4为公比的等比数列…（9分）
∴Tn=

8(1-4n)

1-4

+n=

2•4n+1-8

3

+n．…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要注意分组求和法的合理运用．