Question

8．甲厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为15万元，并且每生产1百台的生产成本为5万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2{x}^{2}+21x+1（0≤x≤5）}\\{56（x＞5）}\end{array}\right.$，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：
（1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入-总成本）
（2）求甲厂可获得利润的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得f（x）=R（x）-G（x），对x讨论0≤x≤5，x＞5即可得到；
（2）分别讨论0≤x≤5，x＞5的函数的单调性，即可得到最大值

解答 解：（1）由题意得G（x）=15+5x，
由R（x）=$\left\{\begin{array}{l}-2{x}^{2}+21x+1（0≤x≤5）\\ 56（x＞5）\end{array}\right.$，
∴f（x）=R（x）-G（x）=$\left\{\begin{array}{l}-2{x}^{2}+16x-14（0≤x≤5）\\-5x+41（x＞5）\end{array}\right.$，
（2）当x＞5时，∵函数y=f（x）递减，
∴f（x）＜-25+41=16（万元），
当0≤x≤5时，f（x）=-2（x-4）²+18，
当x=4时，f（x）有最大值为18（万元）．
答：当工厂生产4百台时，可使赢利最大为18（万元）．

点评 本题考查分段函数的求法和运用：求单调性和最值，考查一次函数和二次函数的单调性及最值，属于基础题．