Question

20．椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为4．则该椭圆的标准方程是$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{8}=1$．

Answer 1

分析 由题意，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{2{b}^{2}}{a}$=4，a²=b²+c²，由此能求出椭圆的方程．

解答 解：由题意得，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{2{b}^{2}}{a}$=4，a²=b²+c²，
∴a=4，b=2$\sqrt{2}$，
∴椭圆C的方程为 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{8}=1$；
故答案是：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{8}=1$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，是基础题，解题时要注意椭圆的简单性质的合理运用．