Question

3．已知椭圆的长半轴为6，焦点在x轴上，离心率$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$；
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求以椭圆内一点M（4，2）为中点的弦所在的直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件求出椭圆的几何量，求出椭圆的方程即可．
（2）设弦两端点的坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由M（4，2）是弦AB的中点可得x₁+x₂=8，y₁+y₂=4，由A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用平方差法求出直线的斜率，然后求解直线方程．

解答 解：（1）依题意$a=6，e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，故$c=3\sqrt{3}$，所以b²=a²-c²=36-27=9
故该椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1$
（2）设弦两端点的坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由M（4，2）是弦AB的中点可得x₁+x₂=8，y₁+y₂=4，由A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在椭圆上可得$\left\{\begin{array}{l}\frac{{{x_1}^2}}{36}+\frac{{{y_1}^2}}{9}=1（1）\\ \frac{{{x_2}^2}}{36}+\frac{y^2}{9}=1（2）\end{array}\right.$（1）-（2）式得：$\frac{{8（{x_1}-{x_2}）}}{36}=-\frac{{4（{y_1}-{y_2}）}}{9}$，
故$k=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=-\frac{1}{2}$，所以l：$y-2=-\frac{1}{2}（x-4）$，
即x+2y-8=0．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，直线方程、椭圆方程的求法，平方差法的应用，考查转化思想以及计算能力．