Question

16．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=3+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），在O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l与y轴的交点为P，直线l与曲线C的交点为A，B，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）由代入消元法，可得直线l的普通方程；由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，代入曲线C的极坐标方程，可得曲线C的直角坐标方程；
（2）求得直线l与y轴的交点，将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，运用韦达定理，结合参数的几何意义，即可得到所求值．

解答 解：（ 1）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=3+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），
消去t，由代入法可得直线l的普通方程为$\sqrt{3}$x-y+3=0；
由ρ=2sinθ知，ρ²=2ρsinθ，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，代入上式，可得x²+y²=2y，
所以曲线C的直角坐标方程为x²+y²-2y=0；
（2）直线l与y轴的交点为P（0，3），
直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=3+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），
代入曲线C的直角坐标方程x²+y²-2y=0，得：t²+2$\sqrt{3}$t+3=0，
设A、B两点对应的参数为t₁、t₂，
则t₁t₂=3，故|PA|•|PB|=|t₁t₂|=3．

点评 本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，注意运用极坐标和直角坐标的关系，考查直线的参数方程的运用，注意运用参数的几何意义以及韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于基础题．