Question

1．设不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{y＞0}\\{y≤-nx+3n}\end{array}\right.$，所表示的平面区域为D，记D_n内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为f（n）（n∈N^*）．
（1）求f（1），f（2），f（3）的值及f（n）的表达式（不需证明）；
（2）设b_n=2ⁿf（n），且S_n为数列{b_n}的前n项和，求S_n．

Answer 1

分析 （1）利用线性规划的有关知识即可得出；
（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）由不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{y＞0}\\{y≤-nx+3n}\end{array}\right.$，可得f（1）=3，f（2）=6，f（3）=9；
∴f（n）=3n．
（2）由题意知：${b_n}=3n•{2^n}$，
∴${S_n}=3•{2^1}+6•{2^2}+9•{2^3}+…+3n•{2^n}$…①
∴$2{S_n}=3•{2^2}+6•{2^3}+9•{2^4}+…+3n•{2^{n+1}}$…②
∴①-②得$-{S_n}=3•{2^1}+3•{2^2}+3•{2^3}+…+3•{2^n}-3n•{2^{n+1}}$=3（2¹+2²+2³+…+2ⁿ）-3n•2ⁿ⁺¹
=$3•\frac{{2-{2^{n+1}}}}{1-2}-3n•{2^{n+1}}$
=3（2ⁿ⁺¹-2）-3n•2ⁿ⁺¹，
∴${S_n}=6+（3n-3）{2^{n+1}}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的求和公式、线性规划，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．