Question

16．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．
（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：∠OED=90°；
（Ⅱ）若CE=1，OA=$\sqrt{3}$，求AE的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AE和OE，由三角形和圆的知识易得∠OED=90°，可得DE是⊙O的切线；
（Ⅱ）设AE=x，由射影定理可得关于x的方程x²=$\sqrt{12-{x}^{2}}$，解方程得x值，可得AE的长．

解答 （Ⅰ）证明：连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB，
在RT△ABC中，由已知可得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，
连接OE，则∠OBE=∠OEB，
又∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，
∴∠OED=90°；
（Ⅱ）解：设AE=x，
在Rt△ABE中，BE=$\sqrt{12-{x}^{2}}$，
由射影定理可得AE²=CE•BE，
∴x²=$\sqrt{12-{x}^{2}}$，即x⁴+x²-12=0，
解方程可得x=$\sqrt{3}$，∴AE=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查圆的切线的判定，涉及射影定理和三角形的知识，属中档题．