Question

已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，且BC边上的高等于BC的一半，则

c

b

+

b

c

最大值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：利用三角形的面积计算公式、余弦定理、正弦函数的单调性即可得出．

解答： 解：由余弦定理：cosA=

b2+c2-a2

2bc

①
由△ABC的面积可得：a•

a

2

=

1

2

bcsinA，即a²=2bcsinA②，
将②代入①得：b²+c²=2bc（cosA+sinA）
∴

c

b

+

b

c

=2（cosA+sinA）=2

2

sin（A+

π

4

），当A=

π

4

时取得最大值2

2

，
故答案为：2

2

．

点评：本题考查了三角形的面积计算公式、余弦定理、正弦函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．