题目内容
（1）设不等式|2x-1|＜1的解集为M，且a∈M，b∈M，试比较ab+1与a+b的大小；
（2）若a，b，c为正实数且满足a+2b+3c=6，求
+
+
的最大值．
（2）若a，b，c为正实数且满足a+2b+3c=6，求
| a+1 |
| 2b+1 |
| 3c+1 |
考点：一般形式的柯西不等式,不等关系与不等式
专题：综合题,不等式的解法及应用
分析：（1）由|2x-1|＜1 可得-1＜2x-1＜1，求出x的范围，即可得到集合M，可得0＜a＜1，0＜b＜1，根据（ab+1）-（a+b）=（a-1）（b-1）＞0，得到ab+1与a+b的大小．
（2）由题意可得，3[（a+1）+（2b+1）+（3c+1）]=27．再利用柯西不等式可得27≥（
+
+
）2，由此可得
+
+
的最大值．
（2）由题意可得，3[（a+1）+（2b+1）+（3c+1）]=27．再利用柯西不等式可得27≥（
| a+1 |
| 2b+1 |
| 3c+1 |
| a+1 |
| 2b+1 |
| 3c+1 |
解答：
解：（1）由|2x-1|＜1 可得-1＜2x-1＜1，∴0＜x＜1，集合M=（0，1）．
∴0＜a＜1，0＜b＜1，
∴（ab+1）-（a+b）=（a-1）（b-1）＞0，
∴ab+1＞a+b；
（2）由a+2b+3c=6，可得（a+1）+（2b+1）+（3c+1）=9，
∴3[（a+1）+（2b+1）+（3c+1）]=27．
再利用柯西不等式，可得（1+1+1）•[（a+1）+（2b+1）+（3c+1）]=27≥（
+
+
）2，
∴
+
+
≤3
，当且仅当
=
=
时，取等号，
故
+
+
的最大值为3
．
∴0＜a＜1，0＜b＜1，
∴（ab+1）-（a+b）=（a-1）（b-1）＞0，
∴ab+1＞a+b；
（2）由a+2b+3c=6，可得（a+1）+（2b+1）+（3c+1）=9，
∴3[（a+1）+（2b+1）+（3c+1）]=27．
再利用柯西不等式，可得（1+1+1）•[（a+1）+（2b+1）+（3c+1）]=27≥（
| a+1 |
| 2b+1 |
| 3c+1 |
∴
| a+1 |
| 2b+1 |
| 3c+1 |
| 3 |
| a+1 |
| 2b+1 |
| 3c+1 |
故
| a+1 |
| 2b+1 |
| 3c+1 |
| 3 |
点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，用作差比较法比较两个式子的大小，考查利用柯西不等式求式子的最大值，式子的变形是解题的关键，属于中档题．
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