Question

已知函数f（x）=

1+lnx

x

．
（1）若函数f（x）在区间（a，a+

1

3

）（a＞0）上存在极值点，求实数a的取值范围；
（2）当x≥1时，不等式f（x）≥

k

x+1

恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，确定函数f（x）在x=1处取得极大值，根据函数在区间（a，a+

1

3

）（a＞0）上存在极值点，可得

a＞0 a＜1＜a+ 1 3

⇒

2

3

＜a＜1，即可求实数a的取值范围；
（2）当x≥1时，分离参数，构造g(x)=

(x+1)(1+lnx)

x

，(x≥1)，证明g（x）在[1，+∞）上是单调递增，所以[g（x）]_min=g（1）=2，即可求实数k的取值范围．

解答： 解：（1）函数f（x）定义域为（0，+∞），f′(x)=

1 x •x-(1+lnx)•1

x2

=-

lnx

x2

，
由f′（x）=0⇒x=1，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0，
则f（x）在（0，1）上单增，在（1，+∞）上单减，
所以函数f（x）在x=1处取得唯一的极值．
由题意得

a＞0 a＜1＜a+ 1 3

⇒

2

3

＜a＜1，故所求实数a的取值范围为(

2

3

，1)
（2）当x≥1时，不等式f(x)≥

k

x+1

?

1+lnx

x

≥

k

x+1

?k≤

(x+1)(1+lnx)

x

．
令g(x)=

(x+1)(1+lnx)

x

，(x≥1)，由题意，k≤g（x）在[1，+∞）恒成立．g′(x)=

[(x+1)(1+lnx)]′•x-(x+1)(1+lnx)•x′

x2

=

x-lnx

x2

令h（x）=x-lnx（x≥1），则h′(x)=1-

1

x

≥0，当且仅当x=1时取等号．
所以h（x）=x-lnx在[1，+∞）上单调递增，h（x）≥h（1）=1＞0
因此g′(x)=

x-lnx

x2

=

h(x)

x2

＞0，则g（x）在[1，+∞）上单调递增，g（x）_min=g（1）=2
所以k≤2，即实数k的取值范围为（-∞，2]．

点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与极值、最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．