题目内容
已知向量
=（2sinx，cosx），
=（
cosx，2cosx），定义函数f（x）=
•
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调减区间；
（3）求出函数f（x）在[-
，
]上的值域．
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调减区间；
（3）求出函数f（x）在[-
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
专题：三角函数的图像与性质
分析：（1）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，根据周期公式求得ω．
（2）利用正弦函数的单调性求得函数 的单调减区间．
（3）根据x的范围确定2x+
，根据正弦函数的性质可知2x+
的结果，进而根据三角函数的性质求得函数的值域．
（2）利用正弦函数的单调性求得函数 的单调减区间．
（3）根据x的范围确定2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
解答：
解：（1）f（x）=2
sinxcosx+2cos2x=
sin2x+cos2x+1=2sin（2x+
）+1，
∴T=
=π，即函数的最小正周期为π
（2）由2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
，得kπ-
≤x≤kπ+
，k∈Z，
∴函数单调减区间为：[kπ-
，kπ+
]（k∈Z）．
（3）∵x∈[-
，
]，
∴2x+
∈[-
，
]，
∴-
≤sin（2x+
）≤1，
∴0≤f（x）≤3，
即函数在区间上的值域为[0，3]．
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
∴T=
| 2π |
| 2 |
（2）由2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 3π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
∴函数单调减区间为：[kπ-
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
（3）∵x∈[-
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
∴2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
∴-
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
∴0≤f（x）≤3，
即函数在区间上的值域为[0，3]．
点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．解题过程中注重运用了整体法结合三角函数的性质来解决问题．
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