Question

已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（x）=a^x•g（x）（a＞0且a≠1），

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

．若数列{

f(n)

g(n)

}的前n项和大于62，则n的最小值为

 

．

Answer 1

考点：数列的求和,导数的运算

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知条件推导出

f(x)

g(x)

=a^x，利用导数的性质求出

f(x)

g(x)

=a^x是增函数，利用

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

推导出a=2．从而得到数列{

f(n)

g(n)

}为{2ⁿ}．由此能求出结果．

解答： 解：∵f（x）=a^x•g（x）（a＞0且a≠1），
∴

f(x)

g(x)

=a^x，
又∵f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），
∴（

f(x)

g(x)

）′=

f′(x)g(x)-f(x)g′(x)

g2(x)

＞0，
∴

f(x)

g(x)

=a^x是增函数，
∴a＞1，
∵

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

．
∴a¹+a^-1=

5

2

，解得a=

1

2

或a=2．
综上得a=2．
∴数列{

f(n)

g(n)

}为{2ⁿ}．
∵数列{

f(n)

g(n)

}的前n项和大于62，
∴2+2²+2³+…+2ⁿ=

2(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺¹-2＞62，
即2ⁿ⁺¹＞64=2⁶，
∴n+1＞6，解得n＞5．
∴n的最小值为6．
故答案为：6．

点评：本题考查等比数列的前n项和公式的应用，巧妙地把指数函数、导数、数列融合在一起，是一道好题．