Question

（1）设函数f（x）=（sinωx+cosωx）²+2cos²ωx（ω＞0）的最小正周期为

2π

3

，将y=f（x）的图象向右平移

π

2

个单位长度得到函数y=g（x）的图象，求y=g（x）的单调增区间．
（2）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A-C）+cosB=

3

2

，b²=ac，求角B的大小．

Answer 1

考点：正弦定理,三角函数的周期性及其求法,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（1）先将函数化简为f（x）的解析式，再由周期公式，求出ω，根据g（x）的解析式，利用正弦函数的单调性求单调增区间．
（2）注意角的范围以及三角形的内角和，对角的三角函数值的制约化简cos（A-C）+cosB=

3

2

，并利用正弦定理得到sinB=

3

2

（负值舍掉），从而求出答案．

解答： 解：（1）f（x）=（sinωx+cosωx）²+2cos²ωx=sin²ωx+cos²ωx+sin2ωx+1+2cos2ωx
=sin2ωx+cos2ωx+2=

2

sin（2ωx+

π

4

）+2
依题意得

2π

2ω

=

2π

3

，
故ω=

3

2

，g（x）=

2

sin[3（x-

π

2

）+

π

4

]+2=

2

sin（3x-

5π

4

）+2
由2kπ-

π

2

≤3x-

5π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）
解得

2

3

kπ+

π

4

≤x≤

2

3

kπ+

7π

12

（k∈Z）
故y=g（x）的单调增区间为：[

2

3

kπ+

π

4

，

2

3

kπ+

7π

12

]（k∈Z）．
（2）解：由cos（A-C）+cosB=

3

2

及B=π-（A+C）得
cos（A-C）-cos（A+C）=

3

2

，
∴cosAcosC+sinAsinC-（cosAcosC-sinAsinC）=

3

2

，
∴sinAsinC=

3

4

．
又由b²=ac及正弦定理得sin²B=sinAsinC，
故sin²B=

3

4

，
∴sinB=

3

2

或sinB=-

3

2

（舍去），
于是B=

π

3

或B=

2π

3

．
又由b²=ac
知b≤a或b≤c
∴B=

π

3

．

点评：本题主要考查三角函数最小正周期的求法和单调区间的求法．三角函数给值求值问题的关键就是分析已知角与未知角的关系，然后通过角的关系，选择恰当的公式，即：如果角与角相等，则使用同角三角函数关系；如果角与角之间的和或差是直角的整数倍，则使用诱导公式；如果角与角之间存在和差关系，则我们用和差角公式；如果角与角存在倍数关系，则使用倍角公式．