Question

已知{a_n}是公比大于1的等比数列，S_n为数列{a_n}的前n项和，且a₂=2，S₃=7．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₂a_n+1+1（n∈N^*），求数列{

1

bnbn+1

}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件，利用等比数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出等比数列的首项和公比，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由an=2n-1，b_n=log₂a_n+1+1推导出b_n=n，从而得到

1

bnbn+1

=

1

n

-

1

n+1

，由此能求出利用裂项求和法能求出数列{

1

bnbn+1

}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，
∵{a_n}是公比大于1的等比数列，且a₂=2，S₃=7，
∴

a1q=2 a1+2+a1q2=7

，且q＞1，
解得

a1=1 q=2

，或

a1=4 q= 1 2

，（舍）．
∴an=2n-1．
（Ⅱ）∵an=2n-1，
∴b_n=log₂a_n+1+1=log22n-1+1=n，
∴

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=（1-

1

2

）=（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）
=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．