Question

已知α，β为锐角，且tan（2α+β）=

3

t

，tanα=

1

t

，t∈[1，2]，则α+β的最大值为

 

．

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数

专题：综合题,三角函数的求值

分析：利用tan（α+β）=tan[（2α+β）-α]，可得tan（α+β）=

2

t+ 3 t

，利用基本不等式，即可得出结论．

解答： 解：∵tan（2α+β）=

3

t

，tanα=

1

t

，
∴tan（α+β）=tan[（2α+β）-α]=

tan(2α+β)-tanα

1+tan(2α+β)tanα

=

3 t - 1 t

1+ 3 t • 1 t

=

2

t+ 3 t

．
∵t∈[1，2]，
∴t+

3

t

≥2

3

（t=

3

时取等号），
∴tan（α+β）≤

3

3

，
∵α，β为锐角，
∴0＜α+β≤

π

6

，
∴α+β的最大值为

π

6

，
故答案为：

π

6

．

点评：本题考查两角和与差的正切函数，考查基本不等式的运用，确定tan（α+β）=

2

t+ 3 t

，利用基本不等式是关键．