Question

设m∈R，过定点A的动直线l₁：x+my=0和过定点B的动直线l₂：mx-y-m+3=0=0交于点P（x，y），
（I） 试判断直线l₁与l₂的位置关系；  
（Ⅱ） 求|PA|•|PB|的最大值．

Answer 1

考点：两点间的距离公式,直线的一般式方程与直线的垂直关系

专题：直线与圆

分析：（I）对m分类讨论，利用两条直线相互垂直与斜率的关系即可得出；
（II）当m=0时，直接求出；当m≠0时，点P在以AB为直径的圆上，可得|PA|²+|PB|²=|AB|²=10，利用基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：（ I）当m=0时，两条直线方程分别化为：x=0，-y+3=0，此时两条直线垂直；
当m≠0时，两条直线的斜率分别为：-

1

m

，m，则-

1

m

×m=-1，因此两条直线垂直．
故直线l₁与l₂垂直；
（ II）由直线l₁：x+my=0可得定点A（0，0）；
由直线l₂：mx-y-m+3=0=0化为m（x-1）+（3-y）=0，联立

x-1=0 3-y=0

，解得x=1，y=3．
可得定点B（1，3）．
当m=0时，两条直线的交点为（0，3），则|PA|•|PB|=

0+32

×

12+0

=3．
当m≠0时，点P在以AB为直径的圆上，
∴|PA|²+|PB|²=|AB|²=10，
∴10≥2|PA|•|PB|，
∴|PA|•|PB|≤5．
综上可得：|PA|•|PB|的最大值为5．

点评：本题考查了两条直线相互垂直与斜率的关系、圆的性质、基本不等式的性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．