Question

13．函数y=sin²x+2cosx在R上的值域是[-2，2]．

Answer 1

分析 根据同角三角函数关系，将函数的解析式化为y=1-cos²x+2cosx，结合函数的cosx为[-1，1]，将问题转化为二次函数在定区间上的值域问题，结合余弦函数及二次函数的性质，即可得到答案．

解答 解：y=sin²x+2cosx=1-cos²x+2cosx=-（cosx-1）²+2，
∵cosx∈[-1，1]，cosx-1∈[-2，0]，
∴-（cosx-1）²∈[-4，0]，
∴-（cosx-1）²+2∈[-2，2]．
∴y∈[-2，2]．
故答案为：[-2，2]．

点评 本题考查的知识点是正弦函数的定义域和值域，考查二次函数在定区间上的最值问题，是解答本题的关键．