Question

2．已知抛物线y²=2px（p＞0）经过点（4，-4）．
（1）求p的值；
（2）若直线l与此抛物线交于A、B两点，且线段AB的中点为N（2，$\frac{1}{3}$）．求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）将点（4，-4）代入抛物线y²=2px（p＞0）可得p值；
（2）根据线段AB的中点为N（2，$\frac{1}{3}$）利用点差法，求出直线斜率，可得直线l的方程．

解答 解：（1）∵抛物线y²=2px（p＞0）经过点（4，-4）．
∴16=8p，
解得：p=2；
（2）由（1）得：y²=4x，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{y}_{1}^{2}=4{x}_{1}\\{y}_{2}^{2}=4{x}_{2}\end{array}\right.$，两式相减得：（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
∴直线l的斜率k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{4}{2×\frac{1}{3}}$=6，
故直线l的方程为y-$\frac{1}{3}$=6（x-2），
即18x-3y-35=0．

点评 本题考查的知识点是直线与抛物线的位置关系，抛物线的标准方程，难度中档．