Question

3．求适合下列条件的圆锥曲线方程：
（1）长轴长是短轴长的3倍，经过点（3，0）的椭圆标准方程．
（2）已知抛物线的顶点在原点，准线与其平行线x=2的距离为3，求抛物线标准方程．

Answer 1

分析 （1）由题意，a=3，b=1，即可求出椭圆的标准方程；
（2）由题意，设抛物线的标准方程为y²=2px，准线方程是x=-$\frac{p}{2}$，抛物线的准线方程为x=-$\frac{5}{2}$或$\frac{1}{2}$，求出p，即可求出抛物线的方程．

解答 解：（1）由题意，a=3，b=1，
∴椭圆标准方程为$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$；
（2）由题意，设抛物线的标准方程为y²=2px，准线方程是x=-$\frac{p}{2}$，
∵抛物线的准线方程为x=-$\frac{5}{2}$或$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{p}{2}$=-$\frac{5}{2}$或$\frac{1}{2}$，解得p=5或-1，
故所求抛物线的标准方程为y²=10x或y²=-2x．

点评 本题考查椭圆、抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．