Question

18．已知函数f（x）=x+$\frac{k}{|x|}$-1（x≠0），k∈R．
（1）当k=3时，试判断f（x）在（-∞，0）上的单调性，并用定义证明；
（2）若对任意x∈R，不等式f（2^x）＞0恒成立，求实数k的取值范围；
（3）当k∈R时，试讨论f（x）的零点个数．

Answer 1

分析 （1）当k=3，x∈（-∞，0）时，f（x）=x-$\frac{3}{x}-1$，${f}^{'}（x）=1+\frac{3}{{x}^{2}}$＞0，f（x）在（-∞，0）上单调递增．利用定义法能进行证明．
（2）设2^x=t，则t＞0，f（t）=t+$\frac{k}{t}-1$，根据k＞0，k=0，k＜0三个情况进行分类讨论经，能求出k的取值范围．
（3）根据k=0，k＞0，k＜0三种情况分类讨论，利用导数性质能求出f（x）的零点个数．

解答 解：（1）当k=3，x∈（-∞，0）时，f（x）=x-$\frac{3}{x}-1$，
${f}^{'}（x）=1+\frac{3}{{x}^{2}}$＞0，
∴f（x）在（-∞，0）上单调递增．
证明：在（-∞，0）上任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=（${x}_{1}-\frac{3}{{x}_{1}}-1$）-（${x}_{2}-\frac{3}{{x}_{2}}-1$）=（x₁-x₂）（1+$\frac{3}{{x}_{1}{x}_{2}}$），
∵x₁，x₂∈（-∞，0），x₁＜x₂，∴${x}_{1}-{x}_{2}＜0，1+\frac{3}{{x}_{1}{x}_{2}}＞0$，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x）在（-∞，0）上单调递增．
（2）设2^x=t，则t＞0，f（t）=t+$\frac{k}{t}-1$，
①当k＞0时，f′（t）=1-$\frac{k}{{t}^{2}}$，
t=$\sqrt{k}$时，f′（t）=0，且f（t）取最小值，
f（$\sqrt{k}$）=$\sqrt{k}+\frac{k}{\sqrt{k}}-1$=2$\sqrt{k}$-1，
当k$＞\frac{1}{4}$时，f（$\sqrt{k}$）=2$\sqrt{k}$-1＞0，
当0＜k≤$\frac{1}{4}$时，f（$\sqrt{k}$）=2$\sqrt{k}$-1≤0，
∴k＞$\frac{1}{4}$时，f（2^x）＞0成立；0＜k≤$\frac{1}{4}$时，f（2^x）＞0不成立．
②当k=0时，f（t）=t-1，
∵t∈（0，+∞），不满足f（t）恒大于0，∴舍去．
③当k＜0时，f${\;}^{'}（t）=1-\frac{k}{{t}^{2}}$恒大于0，
∵$\underset{lim}{x→{0}^{+}}f（t）=-∞$，且f（x）在（0，+∞）内连续，
∴不满足f（t）＞0恒成立．
综上，k的取值范围是（$\frac{1}{4}$，+∞）．
（3）①当k=0时，f（x）=x-1，有1个零点．
②当k＞0时，
（i）当x＞0时，f（x）=x+$\frac{k}{x}$-1，f′（x）=1-$\frac{k}{{x}^{2}}$，
当x=$\sqrt{k}$时，f（x）取极小值，且f（x）在（0，+∞）内先减后增，
由f（x）函数式得$\underset{lim}{x→{0}^{+}}f（x）=\underset{lim}{x→+∞}f（x）=+∞$，
f（$\sqrt{k}$）=2$\sqrt{k}$-1，
当k=$\frac{1}{4}$时，f（$\sqrt{k}$）=0，f（x）在（0，+∞）内有1个零点，
当k＞$\frac{1}{4}$时，f（$\sqrt{k}$）＞0，f（x）在（0，+∞）内有0个零点，
当0＜k＜$\frac{1}{4}$时，f（$\sqrt{k}$）＜0，f（x）在（0，+∞）内有2个零点．
（ii）当x＜0时，f（x）=x-$\frac{k}{x}$-1，f′（x）=1+$\frac{k}{{x}^{2}}$，
f′（x）恒大于0，∴f（x）在（-∞，0）单调递增，
由f（x）表达式，得：$\underset{lim}{x→-∞}f（x）=-∞$，$\underset{lim}{x→{0}^{-}}f（x）=+∞$，
∴f（x）在（-∞，0）内有1个零点．
综上，当k=0时，f（x）有1个零点；当0＜k＜$\frac{1}{4}$时，f（x）有3个零点；当k=$\frac{1}{4}$时，f（x）有2个零点；当k＞$\frac{1}{4}$时，f（x）有1个零点．
③当k＜0时，同理k＞0的情况：
当-$\frac{1}{4}$＜k＜0时，f（x）有3个零点；当k=-$\frac{1}{4}$时，f（x）有2个零点；当k＜-$\frac{1}{4}$时，f（x）有1个零点．
综上所述，当k=0或k＞$\frac{1}{4}$或k＜-$\frac{1}{4}$时，f（x）有1个零点；
当k=$\frac{1}{4}$或k=-$\frac{1}{4}$时，f（x）有2个零点；
当0＜k＜$\frac{1}{4}$或-$\frac{1}{4}$＜k＜0时，f（x）有3个零点．

点评 本题考查孙的单调性的判断及证明，考查实数物取值范围的求法，考查函数的零点个数的讨论，综合性强，难度大，对数学思维能力要求较高．