Question

定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=3f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=

x2-x，x∈[0，1) -( 1 2 )|x- 3 2 |，x∈[1，2)

，若x∈[-4，-2）时，f（x）-

t

9

+

2

9t

≥0恒成立，则实数t的取值范围是（　　）

• A、[-2，0）∪（0，1）
• B、[-2，0）∪[1，+∞）
• C、[-2，1]
• D、（-∞，-2]∪（0，1]

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：由x∈[0，2）时，f（x）=

x2-x，x∈[0，1) -( 1 2 )|x- 3 2 |，x∈[1，2)

求出x∈[-4，-2）时的解析式，然后分段求出最小值，代入f（x）-

t

9

+

2

9t

≥0后求解关于t的不等式得答案．

解答： 解：设x∈[-4，-2），则x+4∈[0，2），
f（x+4）=

(x+4)2-2(x+4) -( 1 2 )|x+4- 3 2 |

=

x2+6x+8 -( 1 2 )|x+ 5 2 |

=3f（x+2）=9f（x），
即f（x）=

1 9 (x2+6x+8)，x∈[-4，-3) - 1 9 •( 1 2 )|x+ 5 2 |，x∈[-3，-2)

，
∵f（x）-

t

9

+

2

9t

≥0恒成立，
∴当x∈[-4，-3）时，

1

9

(x2+6x+8)≥

t

9

-

2

9t

，
即

t

9

-

2

9t

≤[

1

9

(x2+6x+8)]min，也就是

t

9

-

2

9t

≤-

1

9

，解得：t≤-2或0＜t≤1；
当x∈[-3，-2）时，-

1

9

•(

1

2

)|x+

5

2

|≥

t

9

-

2

9t

，
即

t

9

-

2

9t

≤[-

1

9

•(

1

2

)|x+

5

2

|]min，也就是

t

9

-

2

9t

≤-

1

9

，解得：t≤-2或0＜t≤1．
综上，实数t的取值范围为（-∞，-2]∪（0，1]．
故选：D．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了函数值域的求法，考查了数学转化思想方法，训练了分段函数的应用，属难题．