Question

数列{a_n}前n项和S_n，已知S_n=

9

8

a_n-

4

3

×3ⁿ+

4

3

，求和

3

S1

+

32

S2

+…+

3n

Sn

＜

3

16

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知得{

1

8

an+4×3n-2}是首项为4，公比为9的等比数列，从而a_n=

32

9

(9n-3n)，进而S_n=4×9n-16×3n-1+

4

3

，由此得到

3n

Sn

=

3n

4×9n-16×3n-1+ 4 3

=

1

4×3n- 16 3 + 4 3n+1

=

1

4 3 ( 1 3n +3n+1-4)

，当n≥2时，

3n

Sn

=

1

4 3 ( 1 3n +3n+1-4)

＜

3

4

•

1

3n+1-4

＜

3

8

×

1

3n

，由此能证明

3

S1

+

32

S2

+…+

3n

Sn

＜

3

16

．

解答： 解：∵S_n=

9

8

a_n-

4

3

×3ⁿ+

4

3

，①
∴S_n-1=

9

8

a_n-1-

4

3

×3^n-1+

4

3

，②
①-②，得a_n=

9

8

an-

9

8

an-1-

4

3

×3n+

4

3

×3n-1，
整理，得

1

8

an+4×3^n-2=

9

8

an-1+4×3^n-1=9（

1

8

an-1+4×3n-3），
又a₁=S₁=

9

8

a1-

4

3

×3+

4

3

，解得a₁=

64

3

，

1

8

a1+4×3-1=4，
∴{

1

8

an+4×3n-2}是首项为4，公比为9的等比数列，
∴

1

8

an+4×3^n-2=4×9^n-1，
∴a_n=

32

9

(9n-3n)，
∴S_n=

32

9

[

9(1-9n)

1-9

-

3(1-3n)

1-3

]
=4（9ⁿ-1）-

16

3

（3ⁿ-1）
=4×9n-16×3n-1+

4

3

，
∴

3n

Sn

=

3n

4×9n-16×3n-1+ 4 3

=

1

4×3n- 16 3 + 4 3n+1

=

1

4 3 ( 1 3n +3n+1-4)

，
当n=1时，

3

S1

=

9

64

＜

3

16

，
当n≥2时，3ⁿ⁺¹-4＞2×3ⁿ，
∴

3n

Sn

=

1

4 3 ( 1 3n +3n+1-4)

＜

3

4

•

1

3n+1-4

＜

3

8

×

1

3n

，
∴

3

S1

+

32

S2

+…+

3n

Sn

＜

3

8

（

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

）
=

3

8

×

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

=

3

8

×

1

2

（1-

1

3n

）
=

3

16

(1-

1

3n

)＜

3

16

．
综上所述，

3

S1

+

32

S2

+…+

3n

Sn

＜

3

16

．

点评：本题考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意等比数列的性质、放缩法的合理运用．