Question

椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，两焦点F₁，F₂之间的距离为2

3

，椭圆上第一象限内的点P满足PF₁⊥PF₂，且△PF₁F₂的面积为1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若椭圆C的右顶点为A，直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于不同的两点M，N，且满足AM⊥AN．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）根据题意可得出：|PF₁|=2+

2

，|PF₂|=2-

2

，2a=|PF₁|-|PF₂|=4，a²=b²+c²，求解方程即可．
（2）联立方程组

x2 4 +y2=1 y=kx+m

，（1+4k²）x²+8km+4m²-4=0，得到5m²+16km+12k²=0，5m-=6k，m=-2k，代入求解即可得出定点．

解答： 解：（1）设椭圆的方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1，
∵两焦点F₁，F₂之间的距离为2

3

，椭圆上第一象限内的点P满足PF₁⊥PF₂，且△PF₁F₂的面积为1．
∴|PF₁|²+|PF₂|²=12，|PF₁|•|PF₂|=2，
∴|PF₁|+|PF₂|=4，
求解得出：|PF₁|=2+

2

，|PF₂|=2-

2

，
∴2a=|PF₁|-|PF₂|=4，a²=b²+c²，
即a=2，c=

3

，b=1，
∴椭圆C的标准方程：

x2

4

+

y2

1

=1，
（2）∵

x2 4 +y2=1 y=kx+m

，M（x₁，y₁）N（x₂，y₂），A（2，0），
∴（1+4k²）x²+8km+4m²-4=0，
x₁+x₂=-

8km

1+4k2

，x₁x₂=

4m2-4

1+4k2

，△=（8km）²-4（1+4k²）（4m²-4）＞0，
即4k²＞m²-1
∴（k²+1）x₁x₂+（mk-2）（x₁+x₂）+m²+4=0，
5m²+16km+12k²=0，
5m-=6k，m=-2k，
当5m-=6k时，y=kx+m=-

6

5

mx+m=m（-

6

5

x+1）（k≠0）直线l过定点定点（

5

6

，0）
当m=-2k时，y=kx-2k=k（x-2），直线l过定点定点（2，0）
∵右顶点为A（2，0）∴直线l过定点定点（2，0）不符合题意，
∴根据以上可得：直线l过定点定点（

5

6

，0）

点评：本题考查了直线与椭圆的位置关系，联立方程组，结合韦达定理整体求解，属于难题．