题目内容
已知B、C是两个定点，|BC|=8，且△ABC的周长等于18．设顶点A的轨迹为曲线M．
（1）求曲线M的方程；
（2）设O为BC的中点，直线AB与曲线M的另一个交点为D，求△OAD面积的最大值．
（1）求曲线M的方程；
（2）设O为BC的中点，直线AB与曲线M的另一个交点为D，求△OAD面积的最大值．
考点：轨迹方程,直线与圆锥曲线的关系
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）由已知利用椭圆的定义可知点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且2c=8，2a=10，即c=4，a=5，由此能求出点A的轨迹方程．
（2）当直线AD的斜率不存在时，S△AOD=
；当直线AD的斜率存在时，设A（x1，y1），D（x2，y2），直线AD的方程为y=k（x+4），由
，得：（25k2+9）x2+200k2x+400k2-225=0，由此利用韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式能求出△OAD面积的最大值．
（2）当直线AD的斜率不存在时，S△AOD=
| 36 |
| 5 |
|
解答：
解：（1）由已知得|AB|+|AC|=10，
由椭圆的定义可知点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且2c=8，2a=10，即c=4，a=5，
所以b2=a2-c2=9．
如图建立直角坐标系，以BC所在直线为x轴，BC中点为坐标原点．
当点A在直线BC上，即y=0时，A、B、C不能构成三角形．
因此，点A的轨迹方程是
+
=1（y≠0）．
（2）①当直线AD的斜率不存在时，由已知得|AD|=
，点O到直线AD的距离d=4，所以S△AOD=
；
②当直线AD的斜率存在时，设A（x1，y1），D（x2，y2），直线AD的方程为y=k（x+4），
则由
，得：（25k2+9）x2+200k2x+400k2-225=0
所以x1+x2=-
，x1x2=
，
于是|AD|=|x1-x2|
=
•
=
×
=
×
=
，
又点O到直线AD的距离d=
，
所以S△AOD=
|AD|d=180•
，
令
=t，则S△AOD=180•
=180•
=20•
=
≤
=
当
=
，即t2=
时取等号．此时，k=±
．
由
＞
知，S△AOD的最大值为
．
由椭圆的定义可知点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且2c=8，2a=10，即c=4，a=5，
所以b2=a2-c2=9．
如图建立直角坐标系，以BC所在直线为x轴，BC中点为坐标原点．
当点A在直线BC上，即y=0时，A、B、C不能构成三角形．
因此，点A的轨迹方程是
| x2 |
| 25 |
| y2 |
| 9 |
（2）①当直线AD的斜率不存在时，由已知得|AD|=
| 18 |
| 5 |
| 36 |
| 5 |
②当直线AD的斜率存在时，设A（x1，y1），D（x2，y2），直线AD的方程为y=k（x+4），
则由
|
所以x1+x2=-
| 200k2 |
| 25k2+9 |
| 400k2-225 |
| 25k2+9 |
于是|AD|=|x1-x2|
| 1+k2 |
=
| (x1+x2)2-4x1x2 |
| 1+k2 |
=
(
|
| 1+k2 |
=
|
| 1+k2 |
=
| 90(k2+1) |
| 25k2+9 |
又点O到直线AD的距离d=
| 4|k| | ||
|
所以S△AOD=
| 1 |
| 2 |
|k|
| ||
| 25k2+9 |
令
| 1 |
| k |
|k|
| ||
| 25k2+9 |
| ||
| 9t2+25 |
| ||
t2+1+
|
| 20 | ||||||||
|
| 20 | ||||
2
|
| 15 |
| 2 |
当
| t2+1 |
| ||
|
| 7 |
| 9 |
| 3 | ||
|
由
| 15 |
| 2 |
| 36 |
| 5 |
| 15 |
| 2 |
点评：本题考查曲线方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式的合理运用．
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| A、f（x）＞0 |
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