Question

已知定义域为R的函数f（x）=

b-2x

2x+1+a

是奇函数．
（1）求实数a，b的值；  
（2）判断并证明f（x）在（-∞，+∞）上的单调性；
（3）若对任意实数t∈R，不等式f（kt²-kt）+f（2-kt）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由奇函数的条件可得

f(0)=0 f(-1)=-f(1)

即可得到a，b；
（2）运用单调性的定义，结合指数函数的单调性，即可得证；
（3）不等式f（kt²-kt）+f（2-kt）＜0，由奇函数f（x）得到f（-x）=-f（x），f（kt²-kt）＜-f（2-kt）=f（kt-2），再由单调性，即可得到kt²-2kt+2＞0对t∈R恒成立，讨论k=0或k＞0，△＜0解出即可．

解答： 解：（1）由于定义域为R的函数f（x）=

b-2x

2x+1+a

是奇函数，
则

f(0)=0 f(-1)=-f(1)

即

b-1=0 b- 1 2 1+a =- b-2 4+a

，解得

b=1 a=2

，
即有f（x）=

1-2x

2+2x+1

，经检验成立；
（2）f（x）在（-∞，+∞）上是减函数．
证明：设任意x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=

1-2x1

2(1+2x1)

-

1-2x2

2(1+2x2)

=

2x2-2x1

(1+2x1)(1+2x2)

，
由于x₁＜x₂，则2^x₁＜2^x₂，则有f（x₁）＞f（x₂），
故f（x）在（-∞，+∞）上是减函数；
（3）不等式f（kt²-kt）+f（2-kt）＜0，
由奇函数f（x）得到f（-x）=-f（x），
f（kt²-kt）＜-f（2-kt）=f（kt-2），
再由f（x）在（-∞，+∞）上是减函数，
则kt²-kt＞kt-2，即有kt²-2kt+2＞0对t∈R恒成立，
∴k=0或

k＞0 △=4k2-8k＜0

即有k=0或0＜k＜2，
综上：0≤k＜2．

点评：本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性和运用，单调性的判断和运用，考查运算能力，属于中档题．