Question

已知函数f（x）=2x²+k在[a，b]上的值域为[ma，mb]（m＞0）
（1）当x≥0，k=1，m=3时，求a，b的值．
（2）当x≥0，k=1时，求m的取值范围．
（3）当x≤0，m=3时，求k的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1），a＜b，3a=2a²+1，a＞0，a=

1

2

，3b=2b²+1，b=1，（2）2x²-mx+1=0，△=m²-8＞0，即m＞2

2

，或m＜-2

2

，得出m＞0，求解即可得出m＞2

2

，
（3）化简得出3b=2a²+k，3a=2b²+k，a＜b＜0，计算即可．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=2x²+k在[a，b]上的值域为[ma，mb]（m＞0），
∴k=1，m=3时f（x）=2x²+1，值域为[3a，3b]
∵x＞0，a＜b
∴3a=2a²+1，a＞0，a=

1

2

，3b=2b²+1，b=1，
∴a=

1

2

，b=1，
（2）∵当x≥0，k=1时，函数f（x）=2x²+1在[a，b]上的值域为[ma，mb]（m＞0），
∴判断单调递增2a²+1=ma，2b²+1=mb，a＞b，
∴2x²+1=mx，2x²-mx+1=0，
∴△=m²-8＞0，
即m＞2

2

，或m＜-2

2

，
∵m＞0，
∴m＞2

2

，
（3）∵当x≤0，m=3时，
∴f（x）=2x²+k，值域为[3a，3b]，定义域为：[a，b]单调递减，
3b=2a²+k，3a=2b²+k，a＜b＜0，
化简得：a+b=-

3

2

，k=2a²+3b=-2a²-3a-

9

2

，（a＜0），
即：k=-2a²-3a-

9

2

，（a＜0），
∵3b=2a²+k，3a=2b²+k，a＜b＜0，
可判断y=k，g（a）=-2a²-3a-

9

2

，（a＜0），有2个交点，
g（-

3

4

）=-

27

8

，g（0）=-

9

2

，
∴k∈[-

9

2

，-

27

8

）

点评：本题考查了二次函数的性质，不等式的求解，运用求解参变量的值，范围问题，属于中档题．