Question

已知定义域为R的函数f（x），同时满足如下三个条件：
①f（x）是R上的偶函数；
②f（-1+x）=f（-1-x）；
③当x∈[-2，-1]时，f（x）=tx（x+2）．
若f′（

1

2

）=1，那么曲线y=f（x）在点(

1

2

，f(

1

2

))处的切线方程是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的概念及应用

分析：根据条件，结合函数的奇偶性和对称之间的关系求出t，然后求出f（

1

2

）的值即可得到结论．

解答： 解：∵f（x）是R上的偶函数，f（-1+x）=f（-1-x）；
∴f（-1+x）=f（-1-x）=f（1+x），
即f（x+2）=f（x），即函数f（x）的周期是2；
则f′（

1

2

）=f′（-

3

2

）=1，
当x∈[-2，-1]时，f（x）=tx（x+2）．
∴此时函数的导数f′（x）=2tx+2t，
则f′（-

3

2

）=-3t+2t=1，解得t=-1，
即当x∈[-2，-1]时，f（x）=-x（x+2）．
则f（

1

2

）=f（-

3

2

）=

3

2

×(2-

3

2

)=

3

2

×

1

2

=

3

4

，
则y=f（x）在点(

1

2

，f(

1

2

))处的切线方程为y-

3

4

=x-

1

2

，
即4x-4y+1=0．
故答案为：4x-4y+1=0

点评：本题主要考查导数的几何意义，根据函数奇偶性和对称性之间的关系，求出t是解决本题的关键．